菱形判定（3 路）

依赖：SAS 全等判定、平行四边形性质（对边相等 / 对角线互相平分）、菱形对角线 ⊥ 平分对角。

陈述

已知：$ABCD$ 为四边形（顶点按顺序排列）。称 "$ABCD$ 是菱形" 即四边相等 $|AB| = |BC| = |CD| = |DA|$（菱形的定义）。考虑两组判定条件：

• 条件 (b)（对角线 ⊥ 互相平分）：对角线 $AC$、$BD$ 交于 $O$，且 $AC \perp BD$，$|AO| = |OC|$，$|BO| = |OD|$；
• 条件 (c)（一组邻边相等的平行四边形）：$ABCD$ 是平行四边形，且 $|AB| = |BC|$。

求证：$(b)$、$(c)$ 各为菱形的判定，即 $(b)\Rightarrow |AB| = |BC| = |CD| = |DA|, \qquad (c)\Rightarrow |AB| = |BC| = |CD| = |DA|.$

三条刻画 $(a)$ 四边相等、$(b)$、$(c)$ 互相等价；其中 $(a)\Rightarrow(b)$ 已由 菱形对角线 ⊥ 平分 给出、$(a)\Rightarrow(c)$ 由平行四边形判定直接可得，故本节只证上面两条判定方向（$(b)\Rightarrow(a)$、$(c)\Rightarrow(a)$）。