两圆位置关系（5 种） — 双圆位置关系 · Principia

依赖：尺子公理（两点间距离）、三边不等式。

陈述

已知： $\odot O_1(r_1)$ 、 $\odot O_2(r_2)$ 是两个不同的圆，记两圆心间距 $d=|O_1O_2|$ 。称同时落在两圆上的点为两圆的公共点。

求证：两圆公共点的个数只由 $d$ 与两个临界值 $r_1+r_2$ 、 $|r_1-r_2|$ 的大小关系决定，恰按 $d$ 落在下列 5 个区间分为 5 类，公共点个数依次为 $0,1,2,1,0$ ：

\underbrace{d>r_1+r_2}_{\text{外离}} \quad \underbrace{d=r_1+r_2}_{\text{外切}} \quad \underbrace{|r_1-r_2|<d<r_1+r_2}_{\text{相交}} \quad \underbrace{d=|r_1-r_2|}_{\text{内切}} \quad \underbrace{d<|r_1-r_2|}_{\text{内含}}

且当只有 $1$ 个公共点时（外切、内切），该切点落在连心线 $O_1O_2$ 上。

$双圆配置：\odot O_1(r_1)、\odot O_2(r_2) 两圆及连心线长 d=|O_1O_2|$