平移：保距、保角，对应线段平行且相等

依赖：尺子公理、量角器公理、平行四边形判定。

陈述

已知： $\mathbf v$ 是平面上一个固定向量。平移 $T_{\mathbf v}$ 把每点 $P$ 映到 $P'$ ，使得 $\overrightarrow{PP'} = \mathbf v$ 。设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为平面上任意三点，记它们在平移下的像为 $A' = T_{\mathbf v}(A)$ 、 $B' = T_{\mathbf v}(B)$ 、 $C' = T_{\mathbf v}(C)$ 。

求证： $T_{\mathbf v}$ 保距、把线段映到平行且等长的线段、保角，即

|A'B'| = |AB|,\qquad AB \parallel A'B',\qquad \angle A'B'C' = \angle ABC.

（共线退化情形约定 $AB$ 与 $A'B'$ 为方向相同的共线线段。）

$平移示意：\triangle ABC 沿向量 \mathbf v 平移到 \triangle A'B'C'，每个顶点的位移向量都等于 \mathbf v（\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \mathbf v）$

陈述

永久解锁完整证明