两直线平行 ⇒ 同位角相等 — 平行 ⇒ 同位角相等 · Principia

依赖：同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行（正命题，做"造一条线"用），以及过直线外一点存在唯一平行线（Playfair）（把"另一条平行线"逼回原线）。

陈述

已知：直线 $\ell_1 \parallel \ell_2$ ，被第三条直线 $t$ 所截： $t$ 与 $\ell_1$ 交于 $P$ ，与 $\ell_2$ 交于 $Q$ 。在 $P$ 、 $Q$ 处由 $\ell_i$ 与 $t$ 形成的一对同位角分别记作 $\alpha$ 、 $\beta$ 。

求证：

\alpha = \beta.

$\ell_1 \parallel \ell_2 被第三条直线 t 所截，交点分别为 P、Q，\alpha、\beta 是 P、Q 处的一对同位角$

证明

策略是 造一条假想的线 $m$ → 用唯一性把它压回 $\ell_1$ 。

第 1 步（造 $m$ ）：过 $P$ 作直线 $m$ ，使得 $m$ 与 $t$ 在 $P$ 处的同位角恰好等于 $Q$ 处的同位角 $\beta$ 。这一步只用到平面上"过定点作定角"的存在性——即在 $P$ 处复制角 $\beta$ 。

$Step 1：在 P 处复制角 \beta，得到候选直线 m$

第 2 步（ $m \parallel \ell_2$ ）： $m$ 与 $\ell_2$ 被 $t$ 所截，且按造法两处同位角相等（都是 $\beta$ ）。由同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行，得 $m \parallel \ell_2$ 。

第 3 步（ $m = \ell_1$ ）：现在 $m$ 与 $\ell_1$ 都过 $P$ ，且都与 $\ell_2$ 平行。由过直线外一点存在唯一平行线（Playfair）， $m$ 与 $\ell_1$ 必为同一条直线，故 $m = \ell_1$ 。

$Step 2：m \parallel \ell_2 又 \ell_1 \parallel \ell_2 都过 P，由平行线唯一 ⇒ m = \ell_1，故 \alpha = \beta$

因此 $P$ 处由 $\ell_1$ 与 $t$ 形成的同位角 $\alpha$ 即 $m$ 处的那个 $\beta$ ，从而 $\alpha = \beta$ 。 $\blacksquare$

即时推论

平行 ⇒ 内错角相等：内错角与同位角相差一个对顶角，结合对顶角相等立即得到。
平行 ⇒ 同旁内角互补：同旁内角与同位角构成邻补角，结合邻补角和等于 180° 立即得到。
平行的双向判据：本定理与正命题同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行合起来给出" $\ell_1 \parallel \ell_2 \Leftrightarrow$ 同位角相等"，是后续所有平行四边形 / 三角形内角和论证的基础工具。

备注

这是 Principia 中第一次使用 "造一条候选直线 + 唯一性挤回" 的手法：先用正命题把"具有某性质的直线"造出来，再用唯一性公理把它和已知直线对齐。同样的套路在后面证 平行 ⇒ 内错角、三角形内角和等于 180° 时会反复出现——它把"反推"问题转成了"正向构造 + 唯一性"两步走，避免了反证。

欧氏《原本》I.29 用反证法（假设 $\alpha \neq \beta$ ，则一侧同旁内角和 $< 180^\circ$ ，由第五公设两线相交于该侧，矛盾于已知平行）。我们这里把第五公设拆成 平行线唯一（更直观），证明结构因而完全建设性。