PRINCIPIA · THEOREM

三角形内切圆 — 存在唯一性

依赖：内心存在（三条角平分线交于 II）、角平分线 ⇔ 到两边等距（线上 ⇒\Rightarrow 距两边等距）、切线判定（半径过切点 ∧\wedge 半径 ⊥\perp 直线 ⇒\Rightarrow 切线）。

陈述

已知：△ABC\triangle ABC 为非退化三角形，II 为其内心（由 内心存在 给出：三条内角平分线的交点，II 到三边 BCBC、CACA、ABAB 等距）。把这个公共距离记作

r  :=  dist⁡(I,BC)  =  dist⁡(I,CA)  =  dist⁡(I,AB),r \;:=\; \operatorname{dist}(I, BC) \;=\; \operatorname{dist}(I, CA) \;=\; \operatorname{dist}(I, AB),

并设 DD、EE、FF 分别为 II 到 BCBC、CACA、ABAB 的垂足。

求证：以 II 为圆心、rr 为半径的圆 ⊙(I, r)\odot(I,\, r) 与三条边都相切，切点恰为 DD、EE、FF：

⊙(I, r) 切 BC 于 D,切 CA 于 E,切 AB 于 F.\odot(I,\, r) \text{ 切 } BC \text{ 于 } D,\qquad \text{切 } CA \text{ 于 } E,\qquad \text{切 } AB \text{ 于 } F.

\triangle ABC 与内心 I：以 I 为圆心、r = \operatorname{dist}(I, BC) 为半径的圆 \odot(I,\, r)，以及 I 到三边 BC、CA、AB 的垂足 D、E、F

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