三条中线交于一点（重心，且 2:1）

依赖：三角形中位线定理（中位线 ∥ 第三边且 = 一半）、AA 相似判定、对顶角相等、平行 ⇒ 内错角相等（同旁内错角 ⇒ 平行）；以及尺子公理保证一条线段被某个比例切开后分点唯一。

陈述

已知： $\triangle ABC$ 为任意三角形。各边中点记为

M_a = \mathrm{mid}(B,C),\quad M_b = \mathrm{mid}(A,C),\quad M_c = \mathrm{mid}(A,B).

连结每个顶点与其对边中点，得三条中线 $AM_a$ 、 $BM_b$ 、 $CM_c$ 。

求证：三条中线交于同一点 $G$ （称为 $\triangle ABC$ 的重心），且每条中线被 $G$ 按 $2:1$ 切开（顶点到 $G$ 的长度为 $G$ 到对边中点长度的两倍）：

\frac{AG}{GM_a} \;=\; \frac{BG}{GM_b} \;=\; \frac{CG}{GM_c} \;=\; \frac{2}{1}.

$\triangle ABC 及其三条中线 AM_a、BM_b、CM_c（M_a、M_b、M_c 分别为三边中点）$