PRINCIPIA · THEOREM

婆罗摩笈多公式（圆内接四边形的面积）

依赖：海伦公式、托勒密、圆内接四边形对角互补。

陈述

已知：ABCDABCD 是一个圆内接四边形（四个顶点 A,B,C,DA,B,C,D 依次落在同一个圆上）。四条边长依次记为

a  =  AB,b  =  BC,c  =  CD,d  =  DA,a \;=\; AB,\qquad b \;=\; BC,\qquad c \;=\; CD,\qquad d \;=\; DA,

半周长记为

s  =  a+b+c+d2.s \;=\; \frac{a+b+c+d}{2}.

设四边形 ABCDABCD 的面积为 SS。

求证：

S  =   (s−a)(s−b)(s−c)(s−d) .S \;=\; \sqrt{\,(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\,}.

婆罗摩笈多：圆内接四边形 ABCD，四顶点依次在同一圆上，四边 a=AB、b=BC、c=CD、d=DA，半周长 s=\tfrac{a+b+c+d}{2}

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