sin / cos / tan 的定义 — sin/cos/tan 定义 · Principia

依赖：三角函数相似不变、勾股定理。

陈述

已知： $\triangle ABC$ 、 $\triangle A'B'C'$ 都是直角三角形， $\angle C = \angle C' = 90^\circ$ ，且有一个公共锐角 $\theta = \angle A = \angle A' \in (0^\circ,\,90^\circ)$ 。按"对边 / 邻边 / 斜边"的命名约定，在 $\triangle ABC$ 中记

a = BC \;(\theta \text{ 的对边}),\qquad b = CA \;(\theta \text{ 的邻边、非斜边}),\qquad c = AB \;(\text{斜边}),

在 $\triangle A'B'C'$ 中同样记 $a'$ 、 $b'$ 、 $c'$ 。锐角 $\theta$ 的三个三角函数规定为这三条边两两相除得到的比值

\sin\theta \;:=\; \frac{a}{c} \;=\; \frac{\text{对}}{\text{斜}},\qquad \cos\theta \;:=\; \frac{b}{c} \;=\; \frac{\text{邻}}{\text{斜}},\qquad \tan\theta \;:=\; \frac{a}{b} \;=\; \frac{\text{对}}{\text{邻}}.

求证：上述定义是良定义的——三个比值只与锐角 $\theta$ 有关、与所选的具体直角三角形无关：

\frac{a}{c} = \frac{a'}{c'},\qquad \frac{b}{c} = \frac{b'}{c'},\qquad \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}.

$sin/cos/tan 定义示意：锐角 \theta 的直角 \triangle ABC，三边 a（对）、b（邻）、c（斜），三比定义 \sin\theta=a/c、\cos\theta=b/c、\tan\theta=a/b。$

sin/cos/tan 定义

陈述

永久解锁完整证明