内错角相等 ⇒ 两直线平行

依赖：同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行、对顶角相等。

陈述

已知：直线 $t$ 截直线 $\ell_1$、$\ell_2$ 于不同点 $P_1$、$P_2$。$\angle 1$（在 $P_1$）与 $\angle 2$（在 $P_2$）是一对内错角（即分居截线 $t$ 的异侧、且位于 $\ell_1$、$\ell_2$ 之间），且 $\angle 1 = \angle 2$。

求证：

$$\ell_1 \parallel \ell_2.$$

证明

第一步：在 $P_1$ 处把 $\angle 1$ 翻成它的对顶角 $\angle 3$。

由 对顶角相等（对顶角相等），$\angle 1$ 与它在 $P_1$ 处沿 $t$、$\ell_1$ 两条直线对面伸出的那个角 $\angle 3$ 相等：

$$\angle 3 \;=\; \angle 1.$$

第二步：$\angle 3$ 与 $\angle 2$ 已是同位角，调用平行同位角判定。

注意现在 $\angle 3$（在 $P_1$ 处、$\ell_1$ 的"上方 + $t$ 的右侧"）与 $\angle 2$（在 $P_2$ 处、$\ell_2$ 的"上方 + $t$ 的右侧"）相对于截线 $t$ 与各自截线的位置完全相同——它们就是一对同位角。结合题设 $\angle 1 = \angle 2$ 与第一步：

$$\angle 3 \;=\; \angle 1 \;=\; \angle 2.$$

即同位角 $\angle 3$、$\angle 2$ 相等，由 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行（同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行）立得 $\ell_1 \parallel \ell_2$。 $\qquad\blacksquare$

即时推论

• 同旁内角互补 ⇒ 平行：若 $P_1$ 处与 $P_2$ 处的同侧内角和为 $180^\circ$，由"邻补角和 = $180^\circ$"可把 $P_1$ 处那个内角换成它的邻补角——后者与 $P_2$ 处的内角恰构成一对内错角且相等，由本定理立得平行。
• "Z 字形"判平行：图上画一个 Z（或反 Z），其上下两横线由对角线截出的"勾"角即一对内错角；这两个角相等就锁住两横线平行。
• 承前启后：与 同位角 / 内错角相等 ⇔ 两直线平行 三者（同位 / 内错 / 同旁内角）是同一句话——彼此用一次 对顶角相等 或 邻补角和等于 180° 就能互转。

备注

证明只用一次 对顶角相等：把 $\angle 1$ 转成与 $\angle 2$ 同位的 $\angle 3$，再调用上一定理。整步是"位置变换 + 已知判别"——没有引入新的几何对象。

这条结论与 同位角 ⇒ 平行、同旁内角互补 ⇒ 平行 仍属"中性几何"（不依赖平行公理）。它的逆命题（$\ell_1\parallel\ell_2 \Rightarrow$ 内错角相等）才依赖第五公设，留到 L3 处理。