ASA 全等 — ASA 全等判定 · Principia

依赖：SAS 全等判定、量角器公理。证明中辅助构造另需尺子公理（"沿射线取定长"）和点线公理（"两条不同直线至多交一点"）——这两条作为"几何工具的常识"在所有定理证明中默认可用，未列入主依赖，但下文会明确指出何时使用。

陈述

已知： $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 均为非退化三角形（三顶点不共线），且两组角与它们的夹边对应相等：

\angle ABC = \angle A'B'C',\quad |BC|=|B'C'|,\quad \angle BCA = \angle B'C'A'.

求证：

\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'.

$两个非退化三角形 \triangle ABC、\triangle A'B'C'：\angle B = \angle B'、夹边 |BC|=|B'C'|、\angle C = \angle C'$

证明

策略：以 $\triangle A'B'C'$ 这一边作为"模板"。在它的边 $B'A'$ 上由公理 I 借一段长度等于 $|BA|$ 的辅助线段，记端点为 $A''$ ；用 SAS 证 $\triangle ABC \cong \triangle A''B'C'$ ；最后用公理 III 的射线唯一性 + 公理 II 的两线交于一点逼出 $A''=A'$ 。

第一步：构造辅助点 $A''$ ，并由 SAS 得 $\triangle ABC \cong \triangle A''B'C'$ 。

由公理 I（尺子），从 $B'$ 出发沿射线 $B'A'$ 存在唯一的点 $A''$ 使

|B'A''| = |BA|.

下面收齐 SAS 的三个条件：

对应边一： $|BA| = |B'A''|$ （构造方式）。
对应夹角： $A''$ 在射线 $B'A'$ 上，所以射线 $B'A''$ 与射线 $B'A'$ 重合，从而它们与公共边 $B'C'$ 形成的角也相等：

\angle A''B'C' = \angle A'B'C' = \angle ABC.

对应边二： $|BC| = |B'C'|$ （题设）。

由 SAS：

\triangle ABC \cong \triangle A''B'C',\qquad A\!\leftrightarrow\!A'',\ B\!\leftrightarrow\!B',\ C\!\leftrightarrow\!C'.

读出剩下的对应角：

\angle BCA = \angle B'C'A''. \tag{$\dagger$}

$Step 1：在射线 B'A' 上由公理 I 取 A'' 使 |B'A''|=|BA|，再由 SAS 推 \triangle ABC \cong \triangle A''B'C'，读出 (\dagger) \angle B'C'A'' = \angle BCA$

第二步：用公理 III 的射线唯一性，证 $A''$ 在射线 $C'A'$ 上。

公理 III 的精确陈述（强形式）：从一点出发、与一条已给定射线在其某一指定侧形成给定角度的射线，至多只有一条。具体到这里：从 $C'$ 出发、与 $C'B'$ 在 " $A'$ 一侧"形成角度 $\angle B'C'A'$ 的射线唯一。

由题设 $\angle BCA = \angle B'C'A'$ ，结合 $(\dagger)$ 得

\angle B'C'A'' = \angle B'C'A'.

要应用射线唯一性，还需要确保 $A''$ 与 $A'$ 在直线 $C'B'$ 的同一侧。这是构造方式的副产品： $A''$ 取在射线 $B'A'$ 上，所以 $A''$ 与 $A'$ 同在直线 $B'C'$ 的一侧（射线 $B'A'$ 整体落在该侧）。

因此射线 $C'A''$ 与射线 $C'A'$ 同源、同向、同角度，由公理 III 的射线唯一性

\text{射线 }C'A'' \;=\; \text{射线 }C'A'.

第三步：用公理 II 的两线交于一点，推出 $A''=A'$ 。

$A''$ 落在两条射线上：

由构造， $A''$ 在射线 $B'A'$ 上，亦即在直线 $B'A'$ 上。
由第二步， $A''$ 在射线 $C'A'$ 上，亦即在直线 $C'A'$ 上。

直线 $B'A'$ 与直线 $C'A'$ 是两条不同的直线（若重合则 $A'$ 、 $B'$ 、 $C'$ 共线，与 $\triangle A'B'C'$ 非退化矛盾）。由公理 II（两点确定唯一直线，等价地：两条不同直线至多交于一点），它们仅相交于 $A'$ 。

故 $A'' = A'$ 。代回 $(\dagger)$ 上方的全等：

\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'. \qquad\blacksquare

$Step 2–3：\angle B'C'A'' = \angle BCA = \angle B'C'A' ⇒ 射线 C'A'' 与射线 C'A' 重合（公理 III）；再由 A'' 同时在射线 B'A' 与 C'A' 上 ⇒ 公理 II 给 A''=A'$

即时推论

等腰三角形判定（等角⇒等腰）：直接对 $\triangle ABC$ 与"换序版" $\triangle ACB$ 应用 ASA 全等，对偶于等腰三角形底角相等用 SAS 全等判定的论证。
垂直平分线 ⇔ 到两端点等距、角平分线 ⇔ 到两边等距的" $\Leftarrow$ " 方向**：垂直平分线、角平分线两条轨迹的逆方向，关键步骤都是先建立"两条腰所成的两角相等"，再用 ASA 全等 证两个直角三角形全等。
AAS 全等判定的入口**：两组角和一对任意边相等时，先由 **内角和 $=180^\circ$ **补出第三个角，把数据转为 ASA，再调 ASA 全等。

备注

ASA 全等 是 SAS 全等判定的"角度版本"：SAS 全等判定用两边一夹角，ASA 全等 用两角一夹边。两者一起，在初中几何里几乎覆盖所有通过测量得到的全等情景；只剩 SSS（SSS 全等判定）需要单独的论证。

证明里第二、三步是公理 III 与公理 II 的两次精确应用——它们一起替代了欧氏《原本》I.26 中"叠合"动作所默默使用的几何直觉。射线唯一保证"角度 + 同侧"决定一条独一无二的射线；两条不同直线至多相交一点保证两条这样的射线相遇位置已被钉死。