角

依赖：量角器公理。属「派生定义」——把「两条边张开多大」还原为量角器公理给出的一个实数。

定义

从同一点 $O$ 出发，引两条射线 $OA$、$OB$。

这两条射线所夹成的图形，叫做角，记作 $\angle AOB$。 $O$ 是它的顶点，两条射线 $OA$、$OB$ 是它的边。

角的「大小」不靠肉眼估，而由 量角器公理（量角器公理）钉死：该公理给每个角配一个 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之间的实数——它的度数，也记作 $\angle AOB$（同一个记号，既指这个图形，也指它的度数，靠上下文分辨）。于是「两个角相等」就是「两个实数相等」，可加、可比、可算。

备注

• 只看张口，与边长无关。 角的度数只取决于两条边张开的程度；边画长画短、图放大缩小，度数都不变。这也是为什么边是「射线」（无限长）而非线段——长度在这里没有意义。
• 几个特殊的度数。 $90^\circ$ 是直角（两边垂直），小于 $90^\circ$ 是锐角，介于 $90^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间是钝角；$180^\circ$ 时两边成一条直线，叫平角。
• 一个记号，两重身份。 $\angle AOB$ 既是那个图形，又是它的度数——写 $\angle AOB = \angle A'O'B'$ 说的是两个度数相等，写「在 $\angle AOB$ 内部」说的是那个图形。
• 角是全等、相似的度量之一。 判断两个图形全等或相似，要比对的正是对应边的距离与对应角的度数——角是几何里与长度并列的两大基本度量。